FUNGSI

Bab IV

FUNGSI

A.   Definisi Fungsi

        Pandang Himpunan A dan B. R adalah suatu cara yang menghubungkan/mengkaitkan elemen A dengan elemen B. Suatu Relasi R Antara A dan B. Misalkan, f suatu relasi antara A dan B dengan sifat:f mengkaitkan setiap elemen A,dengan satu dan hanya satu elemen B.f disebut fungsi dari A ke B. Ditulis f:A -> B.

Contoh:

Misalkan A = {a,b,c,d} dan B = {1,2,3}. Definisikan suatu fungsi f:A -> B sebagai berikut:

a -> 1,b -> 3,c -> 2,d -> 3 atau f(a) = 1,f(b) = 3,f(c) = 2,f(d) = 3.

Gambarnya:

B.   Grafik Fungsi dan Sistem Koordinat

Suatu fungsi dapat digambar grafiknya dengan cara menggambarkan pasangan-pasangan tertentu dari fungsi tersebut.

Contoh:

C.   Daerah Definisi(Domain) dan Daerah Nilai (Range)

Pandang suatu fungsi f: A -> B. Himpunan A disebut daerah definisi(domain)dari f,ditulis A = D_f Himpunan B disebut kodomain dari f ditulis B = K_f R_f = {y|y = f(x),xE A} suatu himpunan bagian dari B, merupakan himpunan semua peta dari f. Himpunan R_f disebut daerah nilai(ranger) dari fungsi f.

Contoh:

Diketahui f:R^# -> R^# dengan x -> x² . Maka D_f = R^#, sedangkan R_f = {y|y >= 0} = himpunan bilangan nonnegatif.

Grafik fungsi f merupakan setengah lingkaran di atas sumbu x dengan pusat (0,0) dan jari-jari = 1.

D.  Beberapa Jenis Fungsi Real

1.   Fungsi Polinom

-Fungsi Polinom (sukubanyak) mempunyaibentuk bilangan real dan n bilangan bulat positif. Fungsi f(x) diatas disebut polinom berderajat n.

2.   Fungsi Aljabar

-Fungsi Aljabar adalah suatu fungsi y = f(x)yang memenuhi persaman bentuk

3.   Fungsi Transenden

-Fungsi eksponensial

-Fungsi logaritma

-Fungsi trigonometri

-Fungsi siklometri(fungsi invers trigonometri)

-Fungsi Hiperbolik

E.   Beberapa Definisi

a.   Fungsi Konstanta

Fungsi Konstanta adalah suatu fungsi real yang berbentuk: f(x) = k,untuk x

Variable real dan k suatu bulangan real tertentu.

b.   Fungsi Identitas(kesatuan)

c.   Funsi Satu-satu(one-one)

d.   Fungsi Pada(Onto)

e.   Fungsi Komposisi(Tersusun)

f.    Fungsi Invers

g.   Fungsi Eksplisit,Implisit,Berharga banyak

h.   Fungsi Genap

i.     Fungsi Periodik

j.    Fungsi Terbatas

k.   Fungsi Monoton

F.   Contoh-Contoh Menggambar Grafik(dalam Koordinat Cartesius)

1. Grafik Hanya Pada Interval Tertentu

2. Grafik yang mengandung Harga Mutlak

3. Grafik yang mengandung [a]

4. Grafik yang Mengngandung Fungsi Maks dan Min

G.  Fungsi Dalam Bentuk Parameter

Fungsi kadang-kadang lebih mudah dalam bentuk parameter.

Beberapa contoh dalam bentuk parameter:

1.   Sikloida: jika suatu lingkaran berjari-jari a dijalankan di atas sumbu X, suatu titik pada roda akan  mejalani lintasan berupa sikloida.

2.   Hiposikloida: jika sebuah linkaran dijalan pada tepi dalam lingkarang lain yang lebih besar (jari-jari a),terjadi suatu hiposikloida.

Jika a = 4b, persamaan bentuk

H.  Koordinat Polar

`Selain system koordinat Cartesius,dikenal pulsa system koordinat Polar system titik pada bidang dasar kita nyatakan dalampasangan terurut

r= panjang vector posisi titk

P= panjang

=Sudut polar=sudut antara sumbu polar dengan OP(dengan arah berlawanan jarum jam).sumbu polar diimpitkan dengan sumbu x pada kordinat cartesius. Demikian pula hal nya titik 0.

I.    Fungsi Liner

Jenis fungsi yang sederhana adalah fungsi liner.

Sebuah persamaan dalam bentuk: Ax+By = C, dimana A,B, dan C adalah konstanta-konstana serta A dan B kedua-duanya tidak nol disebut persamaan/fungsi linear. Sebuah fungsi linear pada bilangan real adalah himpunan solusi dari persamaan linear.

J.    Kedudukan Dua Buah Garis Lurus

Kemungkinan dari kedudukan dua buah garis lurus dapat dianalisasi berdasarkan slope kedua garis tersebut. Misalkan diketahui dua buah garis lurus, yaitu l₁ : y = m₁x + n₁ dan l₂ : y = m₂ x + n_2.

Bab V

LIMIT DAN KONTINUITAS FUNGSI

A.   Limit Barisan dan Konvergensi

Perhatikan barisan berikut: 1.79, 1.799, 1.7999 ... Kita dapat mengamati bahwa angka-angka tersebut "mendekati" 1.8, limit dari barisan tersebut.Secara formal, misalkan x₁, x₂, ... adalah barisan bilangan riil. Kita menyebut bilangan riil L sebagai limit barisan ini dan menuliskannya sebagai

yang artinya
Untuk setiap bilangan riil ε > 0, terdapat sebuah bilangan asli n₀ sehingga untuk semua n > n₀, |x_n − L| < ε.
Secara intuitif ini berarti bahwa pada akhirnya semua elemen barisan tersebut akan mendekat sebagaimana yang kita kehendaki terhadap limit, karena nilai absolut |x_n − L| adalah jarak antara x dan L. Tidak semua barisan memiliki limit. Bila ada, kita menyebutnya sebagai konvergen, bila tidak, disebut divergen. Dapat ditunjukkan bahwa barisan konvergen hanya memiliki satu limit.
Limit barisan dan limit fungsi berkaitan erat. Pada satu sisi, limit barisan hanyalah limit pada tak terhingga dari suatu fungsi yang didefinisikan pada bilangan asli. Di sisi lain, limit sebuah fungsi f pada x, bila ada, sama dengan limit barisan x_n = f(x + 1/n).